Таблица умножения с алгеброй и теорией чисел, но без зубрежки (отрывки из книги)
Люди изучают таблицу умножения по разным причинам, но чаще всего просто потому, что требуется для школы. А зачем это требуется?
Таблицу умножения используют:
Из сотен существующих трюков и методов, связанных с таблицей умножения, мы выбирали по двум критериям. 1 - трюк короткий, не больше двух шагов (из-за этого, например, отсеялась система Трахенберга); и 2 - для трюка существует математически доступное объяснение-доказательство. То, что осталось в результате, легко запомнить, легко понять, и легко использовать!
Задачки рассчитаны на обсуждение с ментором или с другими учениками
и с ментором, скорее чем на самостоятельное решение. Они могут привести
к довольно продвинутой математике, которую ученик сам может или не заметить,
или не суметь оформить в словах.
Бесплатные клетки
...и остается 36 примеров!
Вот обычная таблица умножения для целых чисел от нуля до десяти:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для выучивания наизусть выглядит страшновато. Сто отдельных фактов! Зубрить их так долго и скучно... А на самом деле, сколько фактов надо запомнить, чтобы знать всю эту таблицу? Не сто, это точно. Внимательно и долго, пока не надоест, изучайте таблицу, и вы найдете множество интересных идей для трюков и методов быстрого запоминания.
Задача 0. Изучив таблицу, найдите как можно больше способов научиться использовать факты из нее без зубрежки. Многие математики, и не только они, работали над нахождением таких методов, так что на самом деле зубрить придется гораздо меньше, чем сто фактов. А сколько, по вашим оценкам? Запомните свой ответ...
Начинаем внимательно смотреть, и видим, что таблица симметричная. Ведь 4*8=8*4, a 9*6=6*9, и так далее. Чтобы все не перечислять, запишем это наблюдение словами:
Если одно число умножить на второе, то ответ такой же, как если второе число умножить на первое.
То есть часть таблицы нам дается совершенно бесплатно! А какая часть? Если сказали "половина", почти угадали. На самом деле симметрия нам дает 45 бесплатных "фактов".
Задача 1. Почему именно 45? Найдите 3 разных способа подсчета. Сколько "бесплатных" фактов даст симметрия таблицы умножения до 20*20? До 30*30?
Есть еще два числа, на которые умножать очень легко. Это 1 и 10.
Задача 2. Почему умножать на 1 легко, понятно, правда? А почему так просто умножать на 10? Подказка - подумайте о других системах счисления, например, шестнадцатиричной.
Вычеркнем и умножение на эти числа из списка тех, что надо вызубрить.
На таблице эти "бесплатные" факты теперь показаны очень светлым серым.
И вот что останется:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В конце первого дня одним из методов из Задачи 1 подсчитываем, сколько
нам осталось выучить фактов. Ну что, уже не так страшно? Тогда ждем следующего
дня умножения!
Удваивать легко. Ученые даже считают, что удваивание "запрограммированно" в мозгу человека (и некоторых животных), наравне с различением понятий "большой - маленький" или "один-много". Малыши учаться удваивать, деля конфеты на двоих, считая туфельки и перчатки, рассматривая предметы в зеркале... Чтобы умножить на два - сложите число с самим собой! А чтобы умножить на четыре? Умножить на четыре - это все равно что умножить на два два раза. То есть для уножения на четыре, удваиваем число (это легко), а потом удваиваем результат.
Задача 3. Как использовать этот же принцип для умножения на 8, на 16 и т.д.? Числа в этом "и т. д." называются "степени двойки". Первая степень - 2, вторая - 4, третья - 8... Продолжайте этот ряд, пока не надоест. А какая степень двойки - число 64? Ответ на этот вопрос называется, на математическом языке, "нахождением логорифма числа 64 по основанию 2".
Так что для умножения на два и четыре зубрить ничего не надо. Как и
для умножения на восемь, но это уже знаимает три шага (потому что восемь
- третья степень двойки, смотри Задачу 3), так что умножение на 8 мы прибережем
для другого трюка. А пока, давайте закрасим факты, от зубрежки которых
нас спасает удвоение и умножение на 4 с помощью удвоения, светло-голубым:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Смотрите, как мало осталось темных клеточек в таблице - зато впереди
много интересной математики. До встречи в третий день.
Результаты умножения на пять можно научиться быстро добывать без зубрежки, причем несколькими разными способами. То есть можно выбрать для использования самый симпатичный вам способ.
Делить пополам (поровну) почти так же легко, как удваивать. Вывод: чтобы умножить на пять, умножайте на десять и потом делите на два. Например, пять умножить на восемь равно половине от восьмидесяти. Пять умножить на четыре равно половине от сорока.
Задача 4. А почему, собственно, мы "имеем право" так делать? С математической точки зрения...
Еще один способ умножения числа на пять: если число четное, приписываем ноль к половине числа. Если число нечетное, приписываем пять к половине предыдущего числа. Например, чтобы умножить восемь на пять, приписываем ноль к половине от восьми. Чтобы умножить семь на пять, приписываем пять к половине от шести.
Задача 5. Почему этот способ работает? Чем он отличается от первого способа? (Подсказка: ничем! С математической точки зрения...)
А вот обещанный универсальный способ умножения. Он работает для всех без исключения чисел, но для большинства из них слишком медленно. Просто считаем не по одному "Один, два, три..." а по числу, которое умножаем, столько раз, на сколько умножаем. Попробуйте это сделать для 7*8: "Семь, четырнадцать, двадцать один, двадцать восемь, тридцать пять, сорок два, сорок девять, пятьдесят шесть" Трудно, правда ведь? И медленно... А теперь попробуйте 5*8: "Пять, десять, пятнадцать... ...сорок". Просто и быстро!
Задача 6, психологическая. Как вы думаете, почему людям легко считать пятерками?
Кстати, тройками тоже считать нетрудно: три, шесть, девять... (почему,
как вы думаете?). В конце третьего дня перекрасим свето-фиолетовым клеточки,
которые теперь можно не зубрить: все умножение на пять и умножение на три.
Вот что останется:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Осталось немного клеточек, но зато - самые трудные, говорите вы? В следующий
день вы с ними одним махом расправимся!
Этот очень красивый трюк пришел откуда-то с Востока, как и многие другие замечательные математические идеи (например, идея нуля). Предполагается, что умножать числа от двух до пяти вы уже умеете (чтобы научиться, можно воспользоваться идеями первых трех дней). На пальцах будем перемножать числа от шести до девяти.
Пронумеруйте пальцы обеих рук: большие - 5, указательные - 6, средние - 7, безымянные - 8, мизинцы - 9. Для начала можно написать цифры на ногтях фломастером. Положите руки перед собой на стол ладонью вниз - и "аналоговый копьютер" готов! Скажем, умножаем 7*8: сведите палец номер 7 на левой руке и палец номер 8 на правой, положите эти касающиеся пальцы вдоль края. Свисающие пальцы (2 на левой руке и 3 на правой) считаем десятками - 50. Пальцы на столе перемножаем: 3 с левой руки умножить на 2 с правой - получается 6, вот и ответ: 7*8=56. Еще пример: 9*8. Касаемся пальцами номер 9 на левой и номер 8 на правой руках. Перед касающимися пальцами осталось 7 пальцев (4 на левой, 3 на правой) - это 70. Остальные перемножаем: 1 на левой на 2 на правой - получается 2, и ответ - 72. То есть пальцы перед касающимися двумя всегда считаем десятками, а остальные перемножаем левую руку на правую. После третьего-четвертого умножения получается очень быстро и ловко.
Задача 7. Почему этот трюк работает? Мы знаем три разных доказательства - а может, вам удастся найти не только их, но и другие доказательства?
Давайте теперь перекрасим клеточки с результатами, которые мы можем добыть
из последнего трюка, в светлый оранжевый цвет. Вот это да! Зубрить-то ничего
и не осталось - вся табличка закрашена!
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|